Back

ⓘ Matematika



                                               

Interval

Slovo interval označuje zcela obecně rozsah hodnot daný dolní a horní mezí sledované entity v mnoha oborech lidské činnosti. Slovo má celou řadu ruzných významu: časoprostorový interval – označení vzdálenosti mezi dvěma událostmi používané v teorii relativity, jeho zvláštními případy jsou časupodobný interval nebo interval časového charakteru světelný interval interval matematika – rozsah čísel v matematice prostorupodobný interval nebo interval prostorového charakteru interval hudba – rozmezí mezi dvěma tóny v hudbě, tedy rozsah zvukový běžně používán kupř. pro operní zpěv časový interval ...

                                               

Diference

Diference muže být: rozdíl, odchylka matematika diference matematika – malý, ale konečný rozdíl v hodnotě proměnné, obvykle označovaný jako Δx delta x; limitním přechodem se diference mění v diferenciál dx filosofie specifická diference – filosofii rozdíl mezi jednotlivými druhy téhož rodu ontologická diference – ve filosofii B. Spinozy základní rozdíl mezi Bohem a světem, ve filosofii M. Heideggera rozdíl mezi bytím a jsoucím jiné diference systémy – podle systémové teorie N. Luhmanna se každý podsystém společnosti vyděluje na základě jedné vudčí diference princip diference – v teorii spr ...

Matematika
                                     

ⓘ Matematika

Matematika = milující poznání ; μάθημα = věda, vědění, poznání) je věda zabývající se z formálního hlediska kvantitou, strukturou, prostorem a změnou. Matematika je též popisována jako disciplína, jež se zabývá vytvářením abstraktních entit a vyhledáváním zákonitých vztahu mezi nimi.

Matematika je založena a budována jako exaktní věda. Její exaktnost podobně jako jiných exaktních věd tkví v tom že, jak matematické objekty, tak i operace nad nimi jsou exaktně vytyčeny tj. s nulovou vnitřní vágností, tedy tak, že každý v matematice v dané exaktní vědě vzdělaný člověk naprosto přesně bez jakýchkoli pochyb ví, co znamenají. To je podstata exaktnosti této disciplíny. V rámci matematiky existuje ale ještě jinak chápaná exaktnost, a to exaktnost použitých metod a jejich výsledku:

Příkladem muže být exaktní a neexaktní řešení: Některé aplikace jsou řešitelné pouze opuštěním přísného a omezujícího požadavku exaktnosti výsledku. Například proto, že neexistuje matematická funkce, která by byla exaktním řešením dané diferenciální rovnice. Muže ale existovat posloupnost funkcí, která s libovolnou přesností nikoli však exaktně, řešením té rovnice je. Dosazením exaktního výsledku řešení do výchozího vztahu rovnice dostáváme identitu. Neexaktní výsledek se od exaktního liší o "chybu", takže po jeho dosazení identitu nedostaneme.

Charakteristickou vlastností matematiky je její duraz na absolutní přesnost metod a nezpochybnitelnost výsledku. Tyto vlastnosti, které matematiku odlišují od všech ostatních vědních disciplín, mají puvod již v antickém Řecku. Nejstarším dochovaným příkladem tohoto přístupu je kniha řeckého matematika Euklida Základy pocházející z 4. století př. n. l.

Široké veřejnosti je známa tzv. elementární matematika, která se zabývá operováním s čísly, řešením praktických úloh, jednoduchých rovnic a popisem základních geometrických objektu. Ve fyzice, informatice, chemii, ekonomii a dalších oborech se často využívají výsledky aplikované matematiky, která je také těmito obory zpětně ovlivňována. Tzv. čistá matematika se zabývá pouze vysoce abstraktními pojmy, jejichž definování není přímo motivováno praktickým užitkem v reálném světě. Některé obory čisté matematiky se nacházejí na pomezí s logikou či filozofií.

                                     

1. Charakteristika metod a cílu matematiky

Mezi jinými vědami se matematika vyznačuje nejvyšší mírou abstrakce a přesnosti. Díky těmto vlastnostem je často označována za královnu věd. Tzv. matematický dukaz je nejspolehlivější známý zpusob, jak ověřovat pravdivost tvrzení. V matematice jsou za spolehlivá považována pouze ta tvrzení nazývané věty, ke kterým je znám matematický dukaz. Nové pojmy jsou vytvářeny jednoznačnými definicemi z pojmu již zavedených.

Pro současnou matematiku je typická vysoká přesnost, zajišťovaná úplnou formalizací. Je-li stanoveno několik základních tvrzení tzv. axiomy, je z nich možné s použitím odvozovacích pravidel založených na logice odvodit další pravdivá tvrzení pomocí formálních dukazu. Výklad matematických poznatku tak spočívá v definování nových pojmu, formulování platných vět o nich případně takových vět, které je dávají do souvislosti s pojmy staršími a dokazování pravdivosti těchto vět. Matematické práce mají proto často strukturu "definice – věta – dukaz" s minimem doplňujícího textu či zcela bez něj. Stejně jako v jiných vědních disciplínách se také muže objevit formulace neověřené hypotézy - předpokladu jako výzva k jejímu dokázání či vyvrácení nebo položení dosud nezodpovězené otázky.

Některé z matematikou vytvářených abstraktních pojmu slouží k vysvětlení či snadnějšímu uchopení pojmu dalších, jiné slouží v jiných vědních oborech jako nástroj k popisu určitých jevu nebo jako idealizovaný model reálných objektu či systému, další pak umožňují precizaci a rozvoj konceptu a myšlenek některých disciplín filozofie. Zákonitosti objevené mezi těmito pojmy lze při vhodné aplikaci zpětně přeformulovat jako pravidla a vlastnosti skutečného světa nebo jako obecně platné teze. To však již není úkolem matematiky, nýbrž příslušné jiné disciplíny.

                                     

2. Jazyk matematiky je umělý formální jazyk

Je třeba připomenout, že jazyk matematiky je umělý formální jazyk, pro který platí kategorický požadavek exaktní tj. s nulovou vnitřní vágností interpretace všech jeho jazykových konstrukcí. Umělými formálními jazyky jsou i jazyky všech typu formálních logik a programovací jazyky. Nelze tedy např. v jakékoli formální logice použít přirozený jazyk, neboť ten má inherentně vágní, a tak i emocionální interpretaci říkáme jí konotace všech svých jazykových konstrukcí. S tímto omylem se mužeme setkat v některých učebnicích formální logiky nebo umělé inteligence viz reprezentace znalostí. Je to překročení hranic exaktního světa porušením podmínky exaktní interpretace. Pro hlubší pochopení problému: Přirozený jazyk nemuže být součástí exaktního světa, nemá exaktní interpretaci svých jazykových konstrukcí. Napřiklad pokud nějaký objekt exaktního světa, třeba veličinu "Rychlost pohybu tělesa", místo obvyklého symbolu V jednočlenného řetězce symbolu, označíme konstrukcí přirozeného jazyka větou: Marjánka se na něj usmívala, nelze tuto větu chápat jako větu přirozeného jazyka a přiřazovat jí obvyklý význam, ale nutně jen jako řetězec symbolu dostávající v exaktním světě nový význam, a to jméno té veličiny. Ona věta dostává tedy stejný význam, jako měl puvodně symbol V. Přiřazení významu té větě je pak exaktní, jak odpovídá statutu veličiny jako elementu exaktního světa. Ještě poznamenejme, že pokud umělé formální jazyky mají vypovídat o znalostech o reálném světě, musí se tak dít prostřednictvím veličin viz Exaktní věda, jinak nelze. Veličina je jediným prostředníkem mezi reálným a exaktním světem.

                                     

3. Historie

Vznik matematiky byl zapříčiněn především potřebou řešit praktické úlohy, jako například ruzné obchodní úlohy, vyměřování a dělení pozemku, stavebnictví a měření času. Historie matematiky sahá až do pravěku, kdy vznikly první abstraktní matematické pojmy – přirozená čísla. Velký rozvoj prodělala v antickém Řecku, kde výrazných úspěchu dosáhla zejména geometrie. Další etapou prudkého rozvoje matematiky byl raný novověk, kdy byly především Descartem ustaveny základy matematické analýzy. Poté se díky práci Newtona, Leibnize, Eulera, Gausse a dalších matematiku podařilo dosáhnout zásadních výsledku v oblasti analýzy zejména položením základu diferenciálního a integrálního počtu.

Jiným významným obdobím dějin matematiky byl přelom 19. a 20. století, kdy zkoumání dokazatelnosti tvrzení bylo postaveno na solidní a formální základ, objevy v matematické logice a zavedením axiomatické teorie množin. Touto dobou začaly být též zkoumány abstraktní struktury, což umožňuje jedním dukazem ověřit matematické tvrzení pro širokou skupinu matematických objektu. Vyvrcholením tohoto trendu byl v polovině 20. století vznik teorie kategorií, která je pokládána za nejobecnější a nejabstraktnější matematickou disciplínu.



                                     

4. Matematické disciplíny

Hlavní klasické disciplíny matematiky se vyvinuly ze čtyř praktických lidských potřeb – potřeby počítat při obchodování, porozumět vztahum mezi číselně vyjádřenými množstvími, vyměřování pozemku a staveb a předpovídání astronomických jevu. Z těchto čtyř potřeb vznikly čtyři klasické matematické disciplíny – po řadě aritmetika, algebra, geometrie a matematická analýza, které se zabývají zhruba řečeno čtyřmi základními oblastmi zájmu matematiky – kvantitou, strukturou, prostorem a změnou. Později se díky snahám zastřešit tyto čtyři disciplíny jednotnou matematickou teorií a dosáhnout co největší přesnosti a nezpochybnitelnosti výsledku rozvinulo několik vzájemně provázaných disciplín nazývaných souhrnně základy matematiky. Tyto disciplíny kromě výše zmíněného umožnily také hlubší propojení matematiky s filozofií či rozvoj teoretické informatiky. Ve 20. století zaznamenaly ohromný rozvoj disciplíny aplikované matematiky, které slouží jako duležité nástroje v nejruznější oborech lidské činnosti.

                                     

4.1. Matematické disciplíny Kvantita

Studium kvantity je vubec nejstarší oblastí matematiky. Jeho počátky se objevují již v pravěku, kdy dochází k porozumění pojmu přirozeného čísla. Postupem času následuje vytváření základních aritmetických operací a rozšiřování číselného oboru přes čísla celá, racionální, reálná a komplexní až k ruzným specializovaným číselným oborum jako jsou hyperkomplexní čísla, kvaterniony, oktoniony, ordinální a kardinální čísla nebo surreálná čísla.

I v teorii přirozených čísel zustává dosud mnoho snadno formulovatelných otevřených problému, např. hypotéza prvočíselných dvojic nebo Goldbachova hypotéza. Zřejmě nejslavnější problém celé matematiky, velká Fermatova věta, byl vyřešen v roce 1995 po 350 letech marných pokusu.

                                     

4.2. Matematické disciplíny Struktura

Mnoho matematických objektu jako množiny čísel či funkcí vykazují jistou vnitřní strukturu. Abstrahováním některých z těchto strukturálních vlastností vznikly pojmy grupa skupina, okruh, těleso a další. Studiem těchto abstraktních konceptu se zabývá algebra. Její duležitou součástí je lineární algebra, která se zabývá studiem vektorových prostoru, jež v sobě kombinují tři ze čtyř okruhu zájmu matematiky – kvantitu, strukturu a prostor. Diferenciální a integrální počet přidává k těmto třem okruhum i čtvrtý – změnu.

                                     

4.3. Matematické disciplíny Prostor

Studium prostoru začíná v matematice již ve starověku geometrií – konkrétně euklidovskou. Trigonometrie přibírá do hry fenomén kvantity. Základním tvrzením této kvantitativní geometrie je Pythagorova věta. V pozdějších dobách dochází k zobecňování směrem k vícedimenzionálním prostorum, neeuklidovským geometriím a topologii. Uvažováním v kvantitativních sférách se dostáváme k analytické, diferenciální a algebraické geometrii. Diferenciální geometrie se zabývá studiem hladkých křivek a ploch v prostoru, algebraická pak geometrickou reprezentací množin kořenu polynomu více proměnných. Topologické grupy v sobě kombinují fenomény prostoru a struktury, Lieovy grupy přidávají navíc ještě změnu.

                                     

4.4. Matematické disciplíny Změna

Pochopení a popis změny je základní snahou přírodních věd. Mocným nástrojem k uchopení fenoménu změny je kalkulus matematické analýzy, který využívá konceptu funkce. Studiem funkcí na oboru reálných čísel se zabývá reálná analýza, obdobnou disciplínou pro komplexní případ je komplexní analýza. Její součástí je pravděpodobně nejslavnější i nejtěžší nevyřešený problém současné matematiky – Riemannova hypotéza. Funkcionální analýza se zabývá studiem přirozeně vznikajících prostoru funkcí, jednou z mnoha aplikací tohoto oboru je kvantová mechanika. Pomocí diferenciálních rovnic je možné studovat problematiku změn kvantitativních veličin. Vysoce složité přírodní systémy slouží jako inspirace pro studium dynamických systému a teorie chaosu.

                                     

4.5. Matematické disciplíny Základy matematiky a filozofie

Ve snaze objasnit a zpřesnit základní kameny matematiky byly na konci 19. století položeny základy disciplínám teorie množin a matematické logiky, jež bývají souhrnně označovány jako základy matematiky. Na pomezí základu matematiky a abstraktní algebry leží teorie kategorií.

Matematická logika poskytuje pevný axiomatický rámec celé matematice a svojí maximální přesností zaštiťuje nezpochybnitelnost všech matematických výsledku. Teorie dukazu precizuje a matematizuje základní principy rozumového odvozování a nutného vyplývání. Teorie modelu studuje logické koncepty pomocí algebraických metod. Formální studium aritmetických teorií jako jsou Robinsonova či Peanova aritmetika má velký význam i pro filozofické otázky týkající se hranic deduktivní metody. Odpovědí na většinu těchto otázek je nejslavnější výsledek celé logiky – Gödelovy věty o neúplnosti. Teorie rekurze má velký význam pro teoretické základy informatiky.

Teorie množin je často označována jako "svět matematiky". Každá jiná matematická disciplína muže být považována za součást teorie množin. Kromě toho má teorie množin vlastní obor studia zaměřený z větší části na pochopení a popis fenoménu nekonečna v jeho aktuální podobě. Slavným problémem teorie množin byla hypotéza kontinua, filozofické dopady má otázka axiomu výběru.



                                     

4.6. Matematické disciplíny Diskrétní matematika

Jako diskrétní matematika se označují oblasti matematiky, které se zabývají studiem konečných diskrétních systému. Její podobory mají obvykle velký praktický význam v informatice a programování. Patří sem disciplíny jako teorie složitosti, teorie informace nebo studium teoretických modelu počítaču, jakým je Turinguv stroj. Teorie výpočetní složitosti se zabývá časovou náročností algoritmu zpracovávaných v počítačích, teorie informace možnostmi efektivního skladování informací na záznamových médiích – studuje pojmy komprese dat, entropie apod. Nejslavnějším problémem těchto disciplín je "problém P = NP". Dalšími součástmi diskrétní matematiky jsou kombinatorika, teorie grafu nebo kryptografie.

                                     

4.7. Matematické disciplíny Aplikovaná matematika

Aplikovaná matematika používá abstraktní matematické nástroje k řešení praktických problému z jiných oblastí vědy, obchodu apod. Statistika používá teorii pravděpodobnosti k popisu, analýze a předpovídání jevu, v nichž hraje duležitou roli náhoda. Numerická matematika vytváří a teoreticky zaštiťuje počítačové výpočetní metody pro řešení širokého spektra úloh příliš náročných pro člověka. Využívá ji počítačové modelování s mnoha aplikacemi při popisu a předpovědi fyzikálních, meteorologických, sociologických, chemických a jiných jevu. Ve světě obchodu a bankovnictví hraje duležitou roli finanční matematika. K popisu ekonomických fenoménu slouží často jazyk a výsledky teorie her.

                                     

5. Odkazy

Literatura

  • PAVLÍKOVÁ PAVLA, SCHMIDT OSKAR. Základy matematiky, 1. vydání. VŠCHT v Praze, 2006. Dostupné online. ISBN 80-7080-615-X.
  • MENŠÍK, Miroslav. Matematika a geometrie pro technickou praxi. Praha: Ústav pro učebné pomucky prumyslových a odborných škol, 1945. 329 s.

Související články

  • Exaktní
  • Seznam matematiku
  • Matematik
  • Fyzika
  • Logika
  • Informační věda

Externí odkazy

  • Slovníkové heslo matematika ve Wikislovníku
  • Téma Matematika ve Wikicitátech
  • Obrázky, zvuky či videa k tématu matematika na Wikimedia Commons
  • Kniha Kategorie:Matematika ve Wikiknihách
  • Encyklopedické heslo Mathematika v Ottově slovníku naučném ve Wikizdrojích
  • Anglicko-český / česko-anglický slovník matematické terminologie
  • Isibalo - matematický vzdělávací videoportál
  • Stránky o výuce matematiky
  • Cifrikova matematika – Seminární práce a domácí úkoly z matematiky studenta UK PedF Praha
                                               

Ideál

Ideál muže být: matematika ideál teorie okruhu – pojem z abstraktní algebry ideál teorie uspořádání – pojem teorie uspořádání, případně teorie množin fyzika ideální tekutina ideální palivo ideální krystalová mřížka ideální plyn ideální kapalina ideální krystal jiné ideální dárce ideální typ v kultuře Ideální manžel – divadelní hra Oscara Wildea Kantor Ideál – český film

                                               

Poloha

Poloha označuje umístění, popř. orientaci určitého tělesa vzhledem k okolnímu prostoru. Dále muže být: matematika Vzájemná poloha geometrických útvaru polohový vektor fyzika poloha hmotného bodu poloha tělesa rovnovážná poloha lékařství autotransfúzní poloha stabilizovaná poloha

                                               

Involuce

Pojem involuce má několik významu. Involuce porodnictví – zmenšování dělohy po porodu Involuce matematika – druh zobrazení v matematice Involuce biologie – fyziologická atrofie orgánu

Exponent
                                               

Exponent

Exponent muže znamenat: ve společnosti – významný představitel, reprezentant nějakého směru nebo strany Exponent studio – slovenské nahrávací studio. exponent matematika – jeden z operandu umocňování

                                               

Rust (rozcestník)

Rust je obecně zvětšování velikosti něčeho. Týká se těchto termínu: rust – vlastnost života další významy: rust města Prahy profesní rust rust populace hospodářský rust buněčný rust Matematika lineární rust exponenciální rust

                                               

Křivost

Pojem křivost se používá především v matematice k vyjádření odchylky od přímého směru. Je vyjádřena jako převrácená hodnota poloměru κ = 1 r {\displaystyle \kappa ={\frac {1}{r}}}. Křivost křivky Křivost plochy Riemannuv tenzor křivosti a pojmy Křivost prostoru Skalární křivost

Free and no ads
no need to download or install

Pino - logical board game which is based on tactics and strategy. In general this is a remix of chess, checkers and corners. The game develops imagination, concentration, teaches how to solve tasks, plan their own actions and of course to think logically. It does not matter how much pieces you have, the main thing is how they are placement!

online intellectual game →